先日、いろんな数の階乗について調べていて「とある面白い性質」に気づいたので数学の問題にしてみました。難易度的には高校数学ですが、中学生でも鋭い子なら解けるかと思います。制限時間10分ほどで考えてみてください。なお、中学生向けに補足しておくと「階乗」というのは「\( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \)」のように1個ずつ階段のように数を掛け算していく計算のことです。この場合、1から5までの階段を掛けているので「5の階乗」と言い、「 \( 5!\) 」と書きます。
問題
任意の自然数 \(n\) に対して、「 \(n\) の1桁目から、同一の数が最も多く連続するのは\( f(n) \)桁目までである」という条件を満たす関数\( f(n) \)を定義する。 例えば、
$$ f(1234) = 1\\ f(12344) = 2\\ f(123444) = 3 $$
である。
このとき、
$$ f(N!) = 777 $$
となる自然数 \(N\) は存在するか。
解答
以下に解答を載せます。自力で解きたい方はスクロールするのを我慢してください。
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まず、色々な数の階乗を見てみましょう。
| N | N! |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
| 11 | 39916800 |
| 12 | 479001600 |
| 13 | 6227020800 |
| 14 | 87178291200 |
| 15 | 1307674368000 |
| 16 | 20922789888000 |
| 17 | 355687428096000 |
| 18 | 6402373705728000 |
| 19 | 121645100408832000 |
| 20 | 2432902008176640000 |
| 21 | 51090942171709440000 |
| 22 | 1124000727777607680000 |
| 23 | 25852016738884976640000 |
| 24 | 620448401733239439360000 |
| 25 | 15511210043330985984000000 |
| 26 | 403291461126605635584000000 |
| 27 | 10888869450418352160768000000 |
| 28 | 304888344611713860501504000000 |
| 29 | 8841761993739701954543616000000 |
| 30 | 265252859812191058636308480000000 |
| 31 | 8222838654177922817725562880000000 |
| 32 | 263130836933693530167218012160000000 |
| 33 | 8683317618811886495518194401280000000 |
| 34 | 295232799039604140847618609643520000000 |
| 35 | 10333147966386144929666651337523200000000 |
| 36 | 371993326789901217467999448150835200000000 |
| 37 | 13763753091226345046315979581580902400000000 |
| 38 | 523022617466601111760007224100074291200000000 |
| 39 | 20397882081197443358640281739902897356800000000 |
| 40 | 815915283247897734345611269596115894272000000000 |
| 41 | 33452526613163807108170062053440751665152000000000 |
| 42 | 1405006117752879898543142606244511569936384000000000 |
| 43 | 60415263063373835637355132068513997507264512000000000 |
| 44 | 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000 |
| 45 | 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000 |
\(5!\) 以降は全て、ゼロが末尾に連続しています。これは、\(5!\) 以降の数は必ず \(10\) を因数とした因数分解が可能であるからです。
具体的に言うと、\( 420 = 42 \times 10 \) のように10を因数に1個含む数は末尾に0が1個並びます。また、\( 4200 = 42 \times 10 \times 10 \) のように10を因数に2個含む数は末尾に0が2個並びます。
更に、もうちょっと踏み込んで考えてみます。\( 10 \) を素因数分解すると \( 2 \times 5 \) なので、「ある数の因数に \( 10 \) を何個含むことができるか」という問いは「ある数を素因数分解したときに2と5のペアが何組含まれているか」という問いと同じであることがわかります。また、階乗というのは「 \( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times N \) 」のように1から \(N\) に至るまでの全ての自然数を因数に持っています。すると、階乗の因数には2が大量に存在していることがわかります。なぜなら、「 \( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times N \) 」の各掛け算のうち2回に1回は2の倍数が登場するためです。同様に、階乗の因数には5もたくさん存在していますが、2ほどは多くないこともわかります。 「 \( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times N \) 」の各掛け算のうち5の倍数が登場するのは5回に1回であるためです。
そのため、素因数分解して2と5のペアを作るときに、「5が余っているのに2が足りない…」と2の不足を心配する必要はないということがわかります。実際は「2が余っているのに5が足りない…」となるわけです。したがって、「階乗を素因数分解したときに2と5のペアが何組含まれているか」という問いは、「階乗を素因数分解したときに5が何個含まれているか」という問いと同じであることがわかります。
では、\( N! \) を素因数分解したときに \( 5 \) が幾つ含まれているのかを考えていきます。先ほど述べたように、「 \( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times N \) 」の各掛け算のうち5の倍数が登場するのは5回に1回ですので、\( N \) を5で割ったときの商を計算すれば良さそうです。しかし、もう少し注意深く考えてみると、「 \( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times N \) 」の各掛け算のうち25回に1回の頻度で25の倍数が登場します。25の倍数は素因数として5を2つ含んでいるため、これもカウントしてあげなくてはなりません。同様に、125回に1回の頻度で \( 5^{3} \) の倍数、625回に1回の頻度で \( 5^{4} \) の倍数が登場するため、これらもカウントしていきます。
結局、Nが5以上のときは、\( f(N!) \) つまり「 \( N! \) を素因数分解したときに \( 5 \) が幾つ含まれているのか」という問いの答えは、以下の計算式で求めることができます。
$$ f(N!) = \left[ \frac{ N }{ 5 } \right] + \left[ \frac{ N }{ 5^{2} } \right] + \left[ \frac{ N }{ 5^{3} } \right] + \left[ \frac{ N }{ 5^{4} } \right] + \cdots $$
ただし、ここでは、\( \left[ Z \right] \) は \( Z \) を超えない最大の整数（整数部分）を表します。 この和を見ると色々な性質がわかってきます。たとえば、\( f(N!) \geq f((N-1)!) \) ということがわかります。この不等式は、上述の右辺同士を比較してみるとすぐに得られます。・・・(1)
この和の計算方法について考えてみます。 もし第一項が100ならNは500〜504です。(もしNが505以上なら第一項は101以上になってしまいますし、もしNが499以下なら第一項は99になってしまいますので。） したがって、第二項は \( 500/5^{2} = 20 \) と計算可能です。同様に、第三項は \( 500/5^{3} = 4 \) 、第四項以降はゼロになります。以上の方法で、和は \( 100 + 20 + 4 = 124 \)と計算できることがわかります。
第一項は第二項以降に比べて比較的大きいため、\( f(N!) \) の値は第一項とかなり近いということがわかります。実際、上の例では第一項が100のときに \( f(N!) = 124 \) でした。
以上を踏まえて問題文を見てみましょう。
$$ f(N!) = 777 $$
を満たす \( N \) の値に、おおよその見当をつけていきます。
和の第一項を625とすると、第二項は125、第三項は25、第四項は5、第五項は1となり、\( f(N!) = 625 + 125 + 25 + 5 + 1 = 781 \) となります。言い換えると、素因数に5が781個含まれているということになります。目的の777個と比べると少しだけ多いですね。では、少しだけ素因数の5の個数を減らして777個にできるかどうかを考えてみます。さきほどのNの値は3125〜3129でした（第一項 \( 625 \times 5 = 3125 \) であるため)。このNから1だけ小さい \( N=3124 \)を考えてみます。計算すると、\( f(3124!) = 624 + 124 + 24 + 4 = 776 \)となります。
以上から、
$$ f(3125!) = 781\\ f(3124!) = 776 $$
となりました。 ここで、不等式(1)より、\( f(N!) \) は、\( f(N!) \geq f((N-1)!) \) という性質があるため、N>3125の範囲に\( f(N!) = 777 \) となるNはありませんし、N<3124の範囲にも\( f(N!) = 777 \) となるNはありません。
したがって、
$$ f(N!) = 777 $$
となる自然数 \(N\) は存在しないと言えます。
以上です。
本日は「末尾に同じ数が777個連続する階乗は存在するか」という問いを解いてみました。いかがでしたでしょうか。5以上の階乗には、末尾にゼロが連続するという面白い性質を使った問題でした。
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